算术基础——对于数这个概念的一种逻辑数学的研究

<FONT size=3><STRONG>　　　　　　　　 汉译世界学术名著丛书

　　　　　　　　　 　　出版说明

</STRONG></FONT>

　　我馆历来重视移译世界各国学术名著。从五十年代起，更致力于翻译出版马克思主义诞生以前的古典学术著作，同时适当介绍当代具有定评的各派代表作品。幸赖著译界鼎力襄助，三十年来印行不下三百余种。我们确信只有用人类创造的全部知识财富来丰富自己的头脑，才能够建成现代化的社会主义社会。这些书籍所蕴藏的思想财富和学术价值，为学人所熟知，毋需赘述。这些译本过去以单行本印行，难见系统，汇编为丛书，才能相得益彰，蔚为大观，既便于研读查考，又利于文化积累。为此，我们从1981年至2000年先后分九辑印行了名著三百六十余种。现继续编印第十辑。到2004年底出版至四百种。今后在积累单本著作的基础上仍将陆续以名著版印行。由于采用原纸型，译文末能重新校订，体例也不完全统一，凡是原来译本可用的序跋，都一仍其旧，个别序跋予以订正或删除。读书界完全懂得要用正确的分析态度去研读这些著作，汲取其对我有用的精华，剔除其不合时宜的糟粕，这一点也无需我们多说。希望海内外读书界、著译界给我们批评、建议，帮助我们把这套丛书出好。


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　商务印书馆编辑部

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2003年10月

<FONT size=3><STRONG>　　　　　　　　　　　译 者 序</STRONG></FONT>


　　弗雷格(1848—1925)是德国著名的数学家、逻辑学家、哲学家，是现代数理逻辑的创始人。他于1848年11月8日出生在德国维斯玛；1869年进耶拿大学学习，后去哥丁根大学学习，先后学习了数学、物理、化学和哲学等课程；1873年在哥丁根大学获得哲学博士学位；1874年获得耶拿大学数学系的授课资格；1879年被任命为该校副教授；1896年被任命为该校名誉教授；1918年退休；1925年去世，享年77岁。他的主要著作和论文有：《概念文字：一种模仿算术语言构造的纯思维的形式语言》(1879)；《算术基础：对于数这个概念的一种逻辑数学的研究》(1884)；《算术的基本规律》第一卷(1893)、第二卷(1903)；《论意义和意谓》(1892)；《函数和概念》(1891)；《论概念和对象》(1892)等等。

　　弗雷格是杰出的数学家和逻辑学家。他想从逻辑推出数学。为了这一目的，他进行了三步努力。第一步是发表了《概念文字》，他在该书中构造了一种形式语言，并以这种语言建立了一阶谓词演算系统，从而提供了一种严格的逻辑工具。第二步是发表了《算术基础》，在这部著作中，他详细探讨了什么是数，什么是0，什么是1等基本概念；他批评了许多数学家和哲学家，包括密尔、康德等人关于这些问题的错误论述；他还从逻辑角度刻画了这些概念。这就为他的第三步，即以逻辑系统来构造算术奠定了基础。虽然后来由于罗素发现了悖论，他的第三步工作没有成功，但是他的前两步工作倍受人们称赞。他的《算术基础》本身包含着许多深刻的哲学探讨，比如关于数的讨论、关于分析和综合的讨论、关于逻辑和心理学的区别的讨论。特别是他提出的三条原则，即必须把心理学的东西与逻辑的东西区别开，把主观的东西与客观的东西区别开；必须在句子联系中询问语词的意谓；必须注意概念和对象的区别，成为今天人们研究和讨论的热点。著名哲学家M．达米特(M．Dummett)说：“我过去觉得并且现在依然觉得，《算术基础》这本书是迄今写下的几乎最完美的唯一一部哲学著作”(The Interpretation of Frege's Philosophy，Cambridge，Harvard University Press，1981，ix)。我认为，这一评价是丝毫不过分的。

　　关于译文，有以下两点需要加以说明。

　　其一，弗雷格在讨论中使用了两个词，一个是“Zahl”，另一个是“Anzahl”，二者都意谓“数”。从弗雷格的论述也无法十分清楚地看出它们的区别。一些英美学者认为，“Zahl”指“number”，即“数”，而“Anzahl”指“cardinal number”，即“基数”。为此我参照了J．L．Austin的英译本。该书把“Zahl”译为小写的“number”，把“Anzahl”译为大写的“Number”。著名逻辑学家Peter T．Geach说，这个译法“对于使英文本行文流畅颇有帮助”(Frege's Grundlagen，载E．D．Klemke编Essays on Frege，University of Illinois Press，Urbana，Chicago and London 1968年，467页)。因此我在翻译中把这两个词都译为“数”，但是在“Anzahl”的译名下加上重点符号，使之成为“<EM>数</EM>”，以示区别。

　　其二，在弗雷格的用语中，定冠词是十分重要的。他往往以加定冠词的概念表示对象，以不加定冠词的概念表示概念，而且对此多次做过说明。因此在翻译中我尽管使译文准确，甚至为了加上定冠词而不惜使中文句子有些生硬。比如文中有“处于F这个概念之下的这个数……”，这里就有两个定冠词“这个”。读起来虽然有些不顺口，但准确地忠实于原文。

　　本书翻译根据：Christian Thiel编辑的Die Grundlagen der Arithmetik：Ein logisch mathematische Untersuchung <SPAN lang=EN-US style="FONT-SIZE: 36pt; FONT-FAMILY: 宋体; mso-bidi-font-family: 'Times New Roman'; mso-font-kerning: 1.0pt; mso-ansi-language: EN-US; mso-fareast-language: ZH-TW; mso-bidi-language: AR-SA"><FONT size=2>ü</FONT></SPAN>ber den Begriff der Zahl，Felix Meiner Verlag GmbH，Hamburg，1988年版；并参照J.L.Austin的英译本The Foundations of Arithmetic：Alogico-mathematical enquiry into the concept of number，Basil Blackwell，Oxford，1953年版。翻译中的不当之处，敬请读者批评指正。

　　中国社会科学院哲学所译审王炳文先生仔细校对了全部译稿，特此致谢！商务印书馆的编辑同志对本书的编辑出版做了许多有益的工作，特此致谢！


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　王　路

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　中国社会科学院哲学研究所

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1992年5月

序

　　§1．在数学中近来可以看到一种旨在达到证明的严格性和概念的精确理解的努力。

　　§2．证明最终必然也涉及<EM>数</EM>这个概念。证明的目的。

　　§3．如下研究的哲学动机：有争议的问题，数的定律是分析的真命题还是综合的真命题，是先验的还是后验的。这些表达式的意义。

　　§4．本书的任务。


I.一些著作家关于算术句子的性质的意见

　数公式是可证明的吗?

　　§5．康德否认汉克尔正当地称之为悖论的东西。

　　§6．莱布尼兹关于2+2＝4的证明有一个缺陷。格拉斯曼关于a+b的定义是不完善的。

　　§7．密尔的下述意见是没有根据的：单个的数的定义断定观察到的事实，而由这些事实得出计算。

　　§8．就定义的合理性而言，并不要求对事实的观察。

　算术规律是归纳的真命题吗?

　　§9．密尔的自然律。当密尔把算术的真命题称为自然律时，他混淆了这些命题和它们的应用。

　　§10．反对加法定律是归纳的真命题的理由：数的不同类性；我们并没有通过定义而得到数的许多共同特征；很可能正相反，归纳是基于算术而证明的。

　　§11．莱布尼兹的“生来就有的”。

　算术定律是先验综合的还是分析的？

　　§12．康德。鲍曼。利普希兹。汉克尔。作为认识基础的内在直觉。

　　§13．算术和几何的区别。

　　§14．联系由真命题支配的领域来比较真命题。

　　§15．莱布尼兹和杰芬斯的观点。

　　§16．反对密尔贬低“对语言的熟练驾驭”。符号不意谓任何可感觉的东西，因此不是空的。

　　§17．归纳的不充分性。猜测，数的定律是分析判断；那么它们的用处在哪里。尊重分析判断。

II．一些著作家关于<EM>数</EM>概念的看法

　　§18．研究数这个普遍概念的必要性。

　　§19．定义不能是几何学的。

　　§20．数是可定义的吗？汉克尔。莱布尼兹。

　<EM>数</EM>是外在事物的性质吗？

　　§21．康托尔和施罗德的看法。

　　§22．鲍曼的不同看法：外在事物不表现出严格的性质。<EM>数</EM>似乎依赖于我们的理解。

　　§23．密尔下述看法是站不住脚的：数是事物的聚集的性质。

　　§24．数的广泛可应用性。密尔。洛克。莱布尼兹的非物质形象。如果数是某种有感觉的东西，那么就不能把它们赋予没有感觉的东西。

　　§25．密尔关于2和3之间的物理区别。根据贝克莱，数实际上不在事物之中，而是通过心灵创造出来的。

　数是主观的东西吗?

　　§26．利普希兹关于数的构造的描述是不合适的，并且不能代替对概念的确定。数不是心理学的对象，而是某种客观的东西。

　　§27．<EM>数</EM>不是像施罗埃密尔西想说明的那样的关于一个对象在一个系列中的位置的表象。

　作为集合的数

　　§28．托迈的命名。

Ⅲ关于单位和一的看法

　“一”这个数词表达对象的一种性质吗?

　　§29．“μουαζ”和“单位”这两个表达式的多义性。施罗德把单位解释为计数对象，似乎是没有用处的。“一”这个形容词不包含任何更进一步的确定，不能用作谓词。

　　§30．根据莱布尼兹和鲍曼所尝试的定义，似乎一这个概念完全消失了。

　　§31．鲍曼关于不可分性和分界性的标志。一这个观念不是由那个对象提供给我们的(洛克)。

　　§32．语言确实说明与不可分性和分界性的一种联系，然而在这里意义发生变化。

　　§33．不可分性(G．科普)是不能作为一的标志而得到的。

　单位是否彼此相等?

　　§34．作为“一”这个名字的基础的单位。施罗德。霍布斯。休谟。托迈。通过抽象掉事物的差异得不到<EM>数</EM>这个概念，而且由此事物不是相等的。

　　§35．即使应该谈论多，差异也是必要的。施罗德。杰芬斯。

　　§36．关于单位的差异性的看法也引起困难。杰芬斯的不同的一。

　　§37．洛克、莱布尼兹、黑塞从单位或一对数的解释。

　　§38．“一”是专名，“单位”是概念词。数不能被定义为单位。“和”和+的区别。

　　§39．由于“单位”的多义性，化解单位相等和可区别性的困难被掩盖起来。

　克服这个困难的尝试

　　§40．时间和空间作为区别的方法。霍布斯。托迈。相反的看法：莱布尼兹，鲍曼，杰芬斯。

　　§41．这个目的达不到。

　　§42．一个序列中的位置作为区别的方法。汉克尔的假定。

　　§43．施罗德通过1这个符号塑造对象。

　　§44．杰芬斯通过确定差异的存在而抽象掉差异特征。0和1是与其他数一样的数。困难依然存在。

　困难的解决

　　§45．回顾。

　　§46．数的给出包含着对一个概念的表达。反对意见，概念不变时数发生变化。

　　§47．数的给出这个事实由概念的客观性得到说明。

　　§48．解决几个困难。

　　§49．斯宾诺莎的证明。

　　§50．施罗德的解释。

　　§51．这个问题的更正。

　　§52．在德语的一种语言使用中的证明。

　　§53．一个概念的标记和性质之间的区别。存在和数。

　　§54．人们可以把单位称为一个数的给出的主词。单位的不可分性和分界性。相等和可区分性。

Ⅳ．<EM>数</EM>这个概念

　每个个别的数都是一个独立的对象

　　§55．试图补充莱布尼兹关于个别的数的定义。

　　§56．这些尝试的定义是不能用的，因为它们说明的是这样一个命题：在这个命题中，数仅是一部分。

　　§57．应该把数的给出看作是一个数的等式。

　　§58．反对意见：数作为一个独立的对象是不可想象的。数根本是不可想象的。

　　§59．一个对象不因为它是不可想象的而被排除在研究之外。

　　§60．独立的事物自身也不总是可想象的。如果人们询问语词的意谓，就必须在句子中考虑它们。

　　§61．反对意见：数是非空间的。并非每个客观对象都是空间的。

　为了获得<EM>数</EM>这个概念，必须确定数相等的意义

　　§62． 我们需要一个表示数相等的记号。

　　§63． 作为这样的(记号)一一对应的可能性。逻辑上的疑问：特别是解释这种情况的相等。

　　§64． 一个类似过程的例子：方向，平面的位置，一个三角形的形成。

　　§65． 尝试一个定义。第二种疑问：对相等的规定是不是足够。

　　§66． 第三种疑问：相等这个记号是不充分的。

　　§67． 不能通过下面的方式形成补充：人们把一个概念的标记看作是引入一个对象的方式。

　　§68． 作为概念外延的<EM>数</EM>。

　　§69． 说明。

　对我们这个定义的补充和证明

　　§70． 关系概念。

　　§71． 通过一种关系而对应。

　　§72． 一一对应关系。<EM>数</EM>这个概念。

　　§73． 如果有一个关系，它使处于F这个概念之下的对象与处于G这个概念之下的对象一一对应，那么属于F这个概念的这个<EM>数</EM>与属于G这个概念的这个<EM>数</EM>就是相等的。

　　§74． 零是属于“与自身不相等”这个概念的那个<EM>数</EM>。

　　§75． 零是属于一个其下没有任何东西的概念的那个<EM>数</EM>。如果零是符合一个概念的那个数，那么就没有任何对象处于这个概念之下。

　　§76． 对“在自然数序列中n跟在m之后”这个表达的说明。

　　§77． 1是属于“与0相等”这个概念的那个<EM>数</EM>。

　　§78． 借助我们的定义被证明的句子。

　　§79． 对“一个序列中跟着”的定义。

　　§80． 注释。“跟着”的客观性。

　　§81． 对“x隶属以y结束的那个φ序列”的说明。

　　§82． 对自然数序列没有最后一个项的证明的提示。

　　§83． 有穷<EM>数</EM>的定义。在自然数序列中任何有穷数都不跟着自己。

　无穷<EM>数</EM>

　　§84． 属于“有穷<EM>数</EM>”这个概念的那个数是一个无穷<EM>数</EM>。

　　§85． 康托尔的无穷<EM>数</EM>；“幂”。称谓的偏离。

　　§86． 康托尔的“顺序中的后继”和我的“序列中的后继”。

V． 结论

　　§87． 算术定律的性质。

　　§88． 康德对分析判断的低估。

　　§89． 康德的句子：“没有感觉，我们就不能得到任何对象。”康德的数学功绩。

　　§90． 对于算术定律的分析性质的完整证明缺乏一种没有缺陷的连贯推论。

　　§91． 通过我的概念文字可以弥补这种缺陷。

　其它的数

　　§92． 根据汉克尔的看法，询问数的可能性的意义。

　　§93． 数既不是在我们之外空间的，也不是主观的。

　　§94． 一个概念的无矛盾性并不保证某种东西处于它之下，并且本身需要证明。

　　§95． 人们不能立即把(c—b)看作是解决减法任务的东西。

　　§96． 数学家也不能任意地干事情。

　　§97． 应该把概念和对象区别开。

　　§98． 汉克尔对加法的解释。

　　§99． 形式理论的缺陷。

　　§100． 尝试通过以特殊的方式扩展乘法的意谓来说明复数。

　　§101． 这样一种说明的可能性对于证明的力量不是不重要的。

　　§102． 单纯要求应该引入这样一种运算并不能做到这一点。

　　§103． 科萨克关于复数的解释仅仅对定义有提示，并没有避免引入陌生的东西。几何体现。

　　§104． 重要的是为新数规定一个重认判断的意义。

　　§105． 算术的魅力在于它的理性特征。

　　§106—109． 回顾。