显示全部前言
社会发展和科技进步对人才培养提出了新的标准和要求。而从宏观看，数学课程内容陈旧、教本单一、教法沉闷等现状已严重影响着人才的培养。对优质教育的呼唤，迫使数学教育工作者考虑，数学应该怎么教?又应该怎么学?
在第24届国际数学家大会(北京•2002年8月)期间，数学泰斗陈省身送给“少年数学论坛”的孩子们一幅题词“数学好玩”。随后著名数学家田刚院士又对孩子们说：“陈老送给你们‘数学好玩’，我想鼓励你们‘玩好数学’，因为这是一个需要付出长期努力和勤奋的过程。”“数学好玩”也即学习数学是充满乐趣的事，有了这种乐趣，会激发学生去自觉地学习和研究数学。而“玩好数学”并非易事!“玩好”是指在数学观念、数学思想、运用数学去解决问题的能力上都达到了较高的境界。如何从学习数学中去享受“好玩”，并将“好玩”玩到“玩好”的高度呢?对此，我们不妨记住数学家哈尔莫斯(P•Holmos)的一句名言：“学习数学的唯一方法是做数学”。
这里的“做数学”绝非传统意义下的演解纯数学习题，而是指综合地、创造性地应用已学到的知识和方法去解决问题。这里的问题包括实际问题和源于数学内部的问题，而“解决”包括：提出问题(含猜想)、分析情境、建立模型、变换结论、绘制图表、估计误差、解释结果、用多种策略和方法去解答同一个问题、将问题收缩为特例或引申到更一般的情境等等。也即“做数学”就是“问题解决”。
“问题解决”是二十世纪八十年代初以美国数学教育界为代表提出的一句口号。至今，这一口号已日益显示其历史的必然性和内在的合理性。“问题解决”主张“以问题解决作为学校数学教育的中心”，这与对数学知识的强调相比，表明了数学教育思想的根本转变，即将“帮助学生学会‘数学地思维’，从而提高解决问题的能力”作为数学教育的主要目标。“问题解决”的思想实质是对传统数学教育思想，特别是对“传授式”教学方法和“学用脱离”的严重倾向的直接否定。“以解决问题为中心”的宗旨是：
(1)让学生通过解决问题的实践去学数学。
(2)让学生通过解决问题的过程去认识数学的价值，并从中逐步树立起对自身数学能力的信心。
(3)帮助学生学会“数学地思维”，从而达到提高解决问题能力的教学最终目标。
在传统数学观和教学观的影响下，我们目前的数学教学，强调静态数学知识(数学概念、命题、算法、解题技巧等)及其获得的本身，注重对数学结果的理解、记忆、巩固和简单意义下的再现，认为教学中解题的目的是“利于基本知识的消化和基本技能的强化”，从而形成单一性“数学”式练习的以机械操练为主的模式。这种静态的接受数学结果的教学制约了学生才智的发展，也无法培养起学生探究解决问题的态度和行为。为克服上述弊端，顺应时代发展潮流，二十多年来，我们对“在问题解决中去学习数学”的课题进行了一系列的探索和实践。对此，我们的做法和体会是：
(1)数学的教与学的本质核心是“问题解决”。
(2)数学教学中“问题解决”的目的。
教学中解题的目的不是追求问题的终结，而是追求解题过程本身的认知实践。为此加大解题教学在教学中的比重，创造条件让学生在“寻求思路、拟定解答方案、实现方案及回味”的过程中亲身参加认知实践，去探究未知的事物，去解决未知的问题，并从中去获取知识和发展才智。也即重过程。
(3)解题的教与学不能停留在演示与摹仿。
解题是一种高级心理活动，它与科学思维、熟练技巧、涉及知识的拥有和强烈的使用意识密切相关。而这一切决不能单凭摹仿和博览下的见多识广所能解决，更不能依赖处方式的解题模式的牢记与套用。解决问题的能力不能靠“教”与“学”来简单获得，它必须在解题实践的训练中方能得到发展。也即重参与。
(4)“熟”未必生“巧”。
解题教学中的题必须少而精，以质胜量。教学应注重问题引入、解法寻求过程及相应思维活动。“熟读唐诗三百首，不会做诗也会吟”是找不到规律时不得已而为之。“熟”也未必生“巧”。“题海战术”和“大运动量训练”有百害而无一利。也即重效益。
(5)掌握“模式”条件下处理好“套路”与“散打”的关系。
重视“模式思维”和“模式解题法”，但不必过分推祟。因为解决问题的是人，而不是方法。我们更重视“具体问题具体分析”。解题意味着从困难中寻求一条超越障碍的路，反映人天赋的活动决非囿于对模式的识记及对号入座。我们注重对学生思维的流畅性、变通性和创造性的培养。借助武术的术语，套路即基本规定(规范)动作，而散打则是在套路基础上将动作灵活应用于实战。数学解题中，对卓有成效的套路无疑应该掌握(学校的实际教学中已足够重视!)，而重要的是在套路纯熟的基础上，应如何注重“散打”能力的培养。也即重分析。
(6)注重解题意识的培养。
意识是人特有的心理现象，是心理活动的高级形式。解题中的有关意识对解题起着特殊的调节作用，其表现为意识的活动使解题人在头脑中产生概念、思想和计划来指导自己的行动，使解题活动更具有目的性、方向性和预见性，从而使解题过程有效完成。解题教学必须注重对学生有关意识(知识的使用意识、深究意识、判断预测意识、变换意识等)的培养，注重“题感”的培养。也即重创造。
(7)学以致用。
教学的目的不是让学生牢记有关的知识和方法，而是通过学习过程在了解知识和方法的同时培养起运用它们的意识和能力，使学生善于将自己获得的知识、方法和技巧带到实际中去，直至今后当他需要完成自己所担负的职责和任务时发挥其作用。应用不能局限于数学各科间的交叉应用，而更应注重在日常生活和科技活动中的应用。也即重应用。
(8)解题中的精神满足感、表现欲和学习内动力的激发。
数学目前好似不那么受到学生的欢迎。原因虽复杂，但教本枯燥乏味，而教学又往往将定型教条强灌给学生，不论其消化否就逼迫学生陷入演题机械训练，无疑是重要原因之一。是教学的扭曲扼杀了学生求知的欲望，抑制了学生才智的发展。现状必须靠教学本身的改革来转变，而解题教学的改革是关键。实践表明，“问题解决”富有挑战性，易于展示创造性，它能使学生得到精神满足感并由此产生学习内动力。也即重乐学。
数学教学从概念上讲经历了三个阶段，即从“是传授知识的过程”，到“是传授知识、培养能力的过程”，又到“是传授知识、培养能力、转变态度的过程”，发展中不变的是数学教学的本质，即思维过程。认知科学和构建学习观认为，数学学习并非一个被动的知识吸收过程，而是一个主动的构建过程；数学教学不应是以教师为主的知识传授过程，而应该是以学生为主的发现过程(再发现过程)，应该让学生主动去进行探索、猜测、修正等活动。而当前现行的数学教学恰恰与认识规律相违背，在教学中往往注重了“数学结果”而忽视了“数学过程”。我们的培训实践以“问题解决”作为教学核心，探索将教学从“结果教育”变为“过程教育”，变学生被动接受为参与探究。让学生通过解决问题的过程去学习数学，去认识数学，学会“数学地”思维，并逐步树立起对自身数学能力的信心，最终提高学生解决问题的能力。而教师则以示范者、咨询者、启发者、鼓励者和质疑者来体现“教学过程”活动中的主导作用。
“在问题解决中学习数学”课题的培训实验，在使数学教学从建立在“知识传授”与“例题一练习”上的传统模式向“鼓励学生积极探究”为特色的教学方式的转变上迈出了可喜的一步。事实表明：实验班学生乐学，并在思考、判断、创造和自学等能力上均获得良好的发展。实验及其成果已受到数学教育界同行的关注并引起了大的反响，北京学知堂教育文化公司已决定将实验成果向面上推广。可以相信，成果将在更广的范围产生影响，并对数学教学质量的提高和学生的智能发展产生显著的效益。
钱昌本
2002年10月1日
在第24届国际数学家大会(北京•2002年8月)期间，数学泰斗陈省身送给“少年数学论坛”的孩子们一幅题词“数学好玩”。随后著名数学家田刚院士又对孩子们说：“陈老送给你们‘数学好玩’，我想鼓励你们‘玩好数学’，因为这是一个需要付出长期努力和勤奋的过程。”“数学好玩”也即学习数学是充满乐趣的事，有了这种乐趣，会激发学生去自觉地学习和研究数学。而“玩好数学”并非易事!“玩好”是指在数学观念、数学思想、运用数学去解决问题的能力上都达到了较高的境界。如何从学习数学中去享受“好玩”，并将“好玩”玩到“玩好”的高度呢?对此，我们不妨记住数学家哈尔莫斯(P•Holmos)的一句名言：“学习数学的唯一方法是做数学”。
这里的“做数学”绝非传统意义下的演解纯数学习题，而是指综合地、创造性地应用已学到的知识和方法去解决问题。这里的问题包括实际问题和源于数学内部的问题，而“解决”包括：提出问题(含猜想)、分析情境、建立模型、变换结论、绘制图表、估计误差、解释结果、用多种策略和方法去解答同一个问题、将问题收缩为特例或引申到更一般的情境等等。也即“做数学”就是“问题解决”。
“问题解决”是二十世纪八十年代初以美国数学教育界为代表提出的一句口号。至今，这一口号已日益显示其历史的必然性和内在的合理性。“问题解决”主张“以问题解决作为学校数学教育的中心”，这与对数学知识的强调相比，表明了数学教育思想的根本转变，即将“帮助学生学会‘数学地思维’，从而提高解决问题的能力”作为数学教育的主要目标。“问题解决”的思想实质是对传统数学教育思想，特别是对“传授式”教学方法和“学用脱离”的严重倾向的直接否定。“以解决问题为中心”的宗旨是：
(1)让学生通过解决问题的实践去学数学。
(2)让学生通过解决问题的过程去认识数学的价值，并从中逐步树立起对自身数学能力的信心。
(3)帮助学生学会“数学地思维”，从而达到提高解决问题能力的教学最终目标。
在传统数学观和教学观的影响下，我们目前的数学教学，强调静态数学知识(数学概念、命题、算法、解题技巧等)及其获得的本身，注重对数学结果的理解、记忆、巩固和简单意义下的再现，认为教学中解题的目的是“利于基本知识的消化和基本技能的强化”，从而形成单一性“数学”式练习的以机械操练为主的模式。这种静态的接受数学结果的教学制约了学生才智的发展，也无法培养起学生探究解决问题的态度和行为。为克服上述弊端，顺应时代发展潮流，二十多年来，我们对“在问题解决中去学习数学”的课题进行了一系列的探索和实践。对此，我们的做法和体会是：
(1)数学的教与学的本质核心是“问题解决”。
(2)数学教学中“问题解决”的目的。
教学中解题的目的不是追求问题的终结，而是追求解题过程本身的认知实践。为此加大解题教学在教学中的比重，创造条件让学生在“寻求思路、拟定解答方案、实现方案及回味”的过程中亲身参加认知实践，去探究未知的事物，去解决未知的问题，并从中去获取知识和发展才智。也即重过程。
(3)解题的教与学不能停留在演示与摹仿。
解题是一种高级心理活动，它与科学思维、熟练技巧、涉及知识的拥有和强烈的使用意识密切相关。而这一切决不能单凭摹仿和博览下的见多识广所能解决，更不能依赖处方式的解题模式的牢记与套用。解决问题的能力不能靠“教”与“学”来简单获得，它必须在解题实践的训练中方能得到发展。也即重参与。
(4)“熟”未必生“巧”。
解题教学中的题必须少而精，以质胜量。教学应注重问题引入、解法寻求过程及相应思维活动。“熟读唐诗三百首，不会做诗也会吟”是找不到规律时不得已而为之。“熟”也未必生“巧”。“题海战术”和“大运动量训练”有百害而无一利。也即重效益。
(5)掌握“模式”条件下处理好“套路”与“散打”的关系。
重视“模式思维”和“模式解题法”，但不必过分推祟。因为解决问题的是人，而不是方法。我们更重视“具体问题具体分析”。解题意味着从困难中寻求一条超越障碍的路，反映人天赋的活动决非囿于对模式的识记及对号入座。我们注重对学生思维的流畅性、变通性和创造性的培养。借助武术的术语，套路即基本规定(规范)动作，而散打则是在套路基础上将动作灵活应用于实战。数学解题中，对卓有成效的套路无疑应该掌握(学校的实际教学中已足够重视!)，而重要的是在套路纯熟的基础上，应如何注重“散打”能力的培养。也即重分析。
(6)注重解题意识的培养。
意识是人特有的心理现象，是心理活动的高级形式。解题中的有关意识对解题起着特殊的调节作用，其表现为意识的活动使解题人在头脑中产生概念、思想和计划来指导自己的行动，使解题活动更具有目的性、方向性和预见性，从而使解题过程有效完成。解题教学必须注重对学生有关意识(知识的使用意识、深究意识、判断预测意识、变换意识等)的培养，注重“题感”的培养。也即重创造。
(7)学以致用。
教学的目的不是让学生牢记有关的知识和方法，而是通过学习过程在了解知识和方法的同时培养起运用它们的意识和能力，使学生善于将自己获得的知识、方法和技巧带到实际中去，直至今后当他需要完成自己所担负的职责和任务时发挥其作用。应用不能局限于数学各科间的交叉应用，而更应注重在日常生活和科技活动中的应用。也即重应用。
(8)解题中的精神满足感、表现欲和学习内动力的激发。
数学目前好似不那么受到学生的欢迎。原因虽复杂，但教本枯燥乏味，而教学又往往将定型教条强灌给学生，不论其消化否就逼迫学生陷入演题机械训练，无疑是重要原因之一。是教学的扭曲扼杀了学生求知的欲望，抑制了学生才智的发展。现状必须靠教学本身的改革来转变，而解题教学的改革是关键。实践表明，“问题解决”富有挑战性，易于展示创造性，它能使学生得到精神满足感并由此产生学习内动力。也即重乐学。
数学教学从概念上讲经历了三个阶段，即从“是传授知识的过程”，到“是传授知识、培养能力的过程”，又到“是传授知识、培养能力、转变态度的过程”，发展中不变的是数学教学的本质，即思维过程。认知科学和构建学习观认为，数学学习并非一个被动的知识吸收过程，而是一个主动的构建过程；数学教学不应是以教师为主的知识传授过程，而应该是以学生为主的发现过程(再发现过程)，应该让学生主动去进行探索、猜测、修正等活动。而当前现行的数学教学恰恰与认识规律相违背，在教学中往往注重了“数学结果”而忽视了“数学过程”。我们的培训实践以“问题解决”作为教学核心，探索将教学从“结果教育”变为“过程教育”，变学生被动接受为参与探究。让学生通过解决问题的过程去学习数学，去认识数学，学会“数学地”思维，并逐步树立起对自身数学能力的信心，最终提高学生解决问题的能力。而教师则以示范者、咨询者、启发者、鼓励者和质疑者来体现“教学过程”活动中的主导作用。
“在问题解决中学习数学”课题的培训实验，在使数学教学从建立在“知识传授”与“例题一练习”上的传统模式向“鼓励学生积极探究”为特色的教学方式的转变上迈出了可喜的一步。事实表明：实验班学生乐学，并在思考、判断、创造和自学等能力上均获得良好的发展。实验及其成果已受到数学教育界同行的关注并引起了大的反响，北京学知堂教育文化公司已决定将实验成果向面上推广。可以相信，成果将在更广的范围产生影响，并对数学教学质量的提高和学生的智能发展产生显著的效益。
钱昌本
2002年10月1日
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