重塑数学：“无穷”的探索之旅 精装新科学人文库

理解无穷，是理解现代数学、逻辑学和哲学的起点。《重塑数学》开启了理解无穷的进路，也为读懂《哥德尔、艾舍尔、巴赫》提供了背景知识。

无穷在数学上是一个特殊的概念，数学分析、集合论等现代数学都是建立在对无穷的理解之上。本书介绍了数学上的第三次危机的历史，其核心是对无穷的探索。作者从一个简单的问题着手：自然数的无穷和实数的无穷，谁大？是否还存在介于两者之间的无穷。借着对这个问题的探讨，作者分别介绍了康托尔、希尔伯特、罗素、哥德尔和科恩的工作，让我们看到现代形式化的数学是如何在摇摇欲坠的数学大厦从基底上重生的，并由此给物理、计算机和逻辑学带来了更广阔的视野和更完备的思想。数学并非万能，只是依靠这些天才的工作，让我们看到其短板，进而重塑它。
 

埃涅阿斯•鲁奇（AeneasRooch），出生于 1983 年，曾在波鸿鲁尔大学和鲁昂大学学习数学与物理，并在波鸿鲁尔大学获得概率论与统计学专业的博士学位。他曾指导工程专业的数学课程，并为新生开发了创新的实践项目。鲁奇还是一位自由科学记者，平常活跃于广播节目和播客，向大众解释数学的奥秘，传达学科之美。
余娟 ，上海外国语大学德语语言文学专业博士。研究方向为当代德语文学和德国能源政策。先后在德国海德堡大学和德国比勒菲尔德大学学习和交流。工作和学习期间公开发表学术著作十余篇。现就职于西安石油大学外国语学院。

无穷是什么？它是否有不同的表现形式，甚至不同的大小？无穷是否能一直增长、无穷无尽，它是否是一种大到不能再大的东西？这些问题不只停留在理论研究层面，只有通过回答这些问题，我们才能够理解自然数的真正含义，明白那些用于计算区域大小或曲线形状的基本原理为何非常精确且永恒有效。
本书作者开启了关于无穷这一数学和物理学中最令人费解的谜题的探索之旅，介绍了 1870 年至 1963 年期间五位大名鼎鼎的数学天才关于无限的探索历程，这些天才的研究扩展了数学的疆域。他们分别是康托尔、罗素、希尔伯特、哥德尔和科恩。将这五个人联系在一起的是他们对无限的迷恋、对抽象思维的热情和丰富的想象——他们的见解构成了今天数学学科的基础。五位数学家命运的传奇经历、古怪的性格，以及人生中的不公、名声、失败……构成了一系列激动人心的故事，即便对于不擅长数学的人来说也是如此。在这些故事中，我们可以了解数学思维是如何运转的，以及人们是如何得出这些非凡见解的。

I康托尔拆解无限 1870—1900
1　独到的发现
2　为了在思考中找到享受而生
3　格奥尔格•康托尔敢为人先
4　计算规则失效
5　一项天才般的策略
6　无限之外
7　热爱与专注
8　一切理性之外的数字
9　我能视之，然不信之
10　为获得认可而苦战
11　无限的宇宙
12　不可思议和洞心骇目
Ⅱ希尔伯特见证了数学体系的坍塌并重建了它1900—1930
13　数学中最著名的问题清单
14　无限的黑暗秘密
15　有争议的问题
16　这不是数学，是神学
17　濒临深渊的集合论
18　不一致的多重性
19　致命的轻率
20　数字究竟是什么
21　连续统的结构
22　崩塌之惧
23　物理之于物理学家太难了
24　这是一门学科，不是公共游泳池
25　真理的世界
26　数学的基础危机
27　希尔伯特酒店
28　弯曲的世界
29　信心
30　绝对的明确性
31　基本真理
Ⅲ痛苦的认识和对一个百年悬而未解问题的意外答案1930—1970
32　梦想破灭
33　一等天才
34　数学因一个骗子而中断
35　一个温柔的男人
36　失败和希望
37　无法接近的无限
38　濒临深渊的世界
39　普林斯顿的散步者
40　束缚之下的无限
41　在孤独中结束
42　无限的世纪
致谢
注释
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术语表

在孤独中结束
当保罗·科恩带着他的发现接近库尔特·哥德尔时，哥德尔正生活在充满恐惧和痛苦的世界里。他的所有对话者几乎都去世了，他被妄想所困扰。
他害怕被暗杀，他怀疑有一个历史性的阴谋要摧毁莱布尼茨的著作，从而使人们变得愚蠢，他担心他无法胜任高等研究所的要求，从而失去职位。
他的身体状况也不好。他在年轻的时候就常常抱怨消化不良，从不爱吃东西，而且他坚持严格的饮食，比如：
他说，他活着“原则上靠黄油”（每天约八分之一千克），辅以鸡蛋（每天三个，外加两个以上的蛋白，通常以蛋清的形式），牛奶、土豆泥和婴儿食品。不允许进食其他脂肪，不喝汤，不吃酸的和辣的以及新鲜水果。
随着时间的推移，他的观点变得越来越过激。他仔细观察自己的消化情况并亲自准备药物，抗生素、治疗心脏病和膀胱感染的药物以及各种泻药，这些都是他一丝不苟定时服用的药物。他甚至在手表上设置了一个闹钟，以免忘记吃药。他有时看起来如此憔悴和苍白，以至于在他最后的朋友，经济学家奥斯卡·莫根施特恩的眼中，他就像一具活尸，然而他却一次又一次地康复，莫根施特恩只能感叹道，“什么神奇的药物”使他活了下来。
哥德尔还担心自己的体温。在一个温暖的秋日下午，他被邀请去莫根施特恩家喝茶，他穿着两件毛衣，一件马甲和一件休闲西服出现。尽管如此，他还是很冷，莫根施特恩又给他了一件毛衣，一件外套和两条毯子，但这还不够，莫根施特恩最后只好点燃了壁炉。在第二年春天的一次做客中，他还在有暖气的客厅里穿着冬衣。
尽管哥德尔拥有卓越的智力和逻辑思维方式，但他非常不愿意接受治疗，当他因为疼痛难以忍受以及在阿德勒的催促下住院时，他怀疑医生对他撒谎，他无视医生的诊断并声称，他的药物没有被正确标记。在哥德尔身上到底发生了什么仍然是个迷，因为他很少和别人谈论他的私生活和他的感受，几乎没有留下任何记录。所以，库尔特·哥德尔这位自闭的逻辑学家，迄今为止也是著名数学家中最神秘的一位。
阿德勒·哥德尔尽其所能地照顾着她生病的丈夫，她确保他至少吃一些食物。1970年，库尔特·哥德尔出版了他的最后一部著作，但由于精神病药物的影响，他不得不撤回这部著作，因为他发现其中存在错误。他的疾病使他无法继续研究，也无法参与社交生活。最终，他几乎只通过电话与其他人交往。奥斯卡·莫根施特恩很关心哥德尔：即使当他在1977年病重去世时，仍在日记中写道：
今天……，库尔特·哥德尔又给我打电话了……，他同我通话15分钟。…他简短地询问了我的状况并让我确信，……我的癌症不仅会得到控制，而且消退是很显然的……。然后，他就转向他自己的问题。他认为医生没有告诉他真相，他们不关心他是个特殊情况（同样的话，他几周前，几月前，几年前就说过），我应该帮助他转院到普林斯顿医院。…他还想让我相信，大约两年前，有两个男人假装是医生出现。……他们是骗子，想把他送进医院…，他很难去揭穿他们。……很难描述这样的对话对我意味着什么：这是我们这个世纪最聪明的人之一，他非常喜欢我…，显然患有偏执狂，期望得到我的帮助……，我却无法给他。即使当我还能动并试图……帮助他的时候，我也没有做到…。由于他对我依赖，而且他显然没有其他人可依赖，使我背负的重担更重了。
两周后，莫根施特恩去世了。当哥德尔在电话里听到这件事时，据说他只是惊愕地挂断电话，没有再说一句话。他的最后一位朋友死了。世界再次夺走他活着的依赖。对于敏感的人来说，情况变得更糟糕。同年，阿德勒中风，不得不住院治疗。现在，库尔特·哥德尔这位重要的逻辑学家只能孤身一人了。他在黑暗的孤独中停止进食。
当阿德勒六个月后回家的时候，哥德尔已经彻底憔悴和绝望了。他没有力气做出积极的决定，他告诉他的同事，他只会更消极。阿德勒把他送进医院，但是已经太晚了。哥德尔只剩下30公斤重，全是皮包骨头。几周后，1978年1月14日，他无力和憔悴地去世了，死亡证明上写着，由于“人 格障碍”导致的“营养不良和消瘦”。